Coordonnées cylindriques et sphériques. .�>'"* ��#����HshN���,~E]���H�"�8#vFN�� ԫ��3l�s���ȠQtQ)U��A�q=�2)��5�xk�@"��G��h ��I���R�����?�{**���YQ\�*@A�^�3L�-f$��v�7ZSP�+�D����� 2 Coordonn´ees cylindriques O M z r θ dOM = drer +rdθeθ +dzez 2.1 Longueurs ´el´ementaires dz dr rdθ dre~r rdθe~θ dze~z 2.2 Surfaces ´el´ementaires dr.rdθ rdθ.dz dz.dr 2.3 Volume ´el´ementaire dr.rdθ.dz Damien DECOUT - Derni`ere modification : avril 2007.
Les En mécanique des fluides, si un fluide rentre dans un tube compressible avec davantage de force qu'il n'en sort à l'autre extrémité, le tube va avoir tendance à voir sa pression interne augmenter, et donc aussi son volume. En coordonnées cylindriques, V(r,θ,z) = Vr(r,θ,z) u + Vθ(r,θ,z) v + Vz(r,θ,z) k. On considère un élément de volume infiniment petit dv autour du point M. Le flux du vecteur V à travers les faces perpendiculaires à u est dΦu = Vr(r+dr) [(r+dr)dθdz] - Vr(r) [rdθdz] Le flux du vecteur V à travers les faces perpendiculaires à …

On utilisera les coordonnées sphériques dès que la distance au centre joue un rôle important dans l'exercice. On considère un vecteur quelconque qui dépend du temps t. On projette ce vecteur dans la base 12 3 ee e GGG: A(t x te x te x te)=+ + 11 2 2 3 3( ) ( ) ( ) G G GG Par définition, la dérivée de A()t G par. Vous allez apprendre l'art d'exprimer une vitesse et une accélération vectorielles avec des coordonnées généralisées; ça permettra de modéliser plus facilement des systèmes avec des contraintes géométriques complexes . )Le laplacien scalaire est (comme son nom l’indique) un scalaire, qui prend en argument un scalaire.Attention, le laplacien vectoriel se notera de la même manière mais avec une flèche au-dessus (puisqu’il s’agit d’un vecteur).Le principe est le même que pour la divergence mais on prend les dérivées secondes et non les dérivées premières, d’où la notation ∇ similaire à la divergence : Comme tu le vois, la formule est la même que pour la divergence mais avec les dérivées secondes.La démonstration sera faite un peu plus loin dans le chapitre Cette formule reste vraie en coordonnées cylindriques et sphériques, et on trouve alors facilement que : On retrouve la formule en cartésiennes vue ci-dessus.Le laplacien vectoriel est un vecteur (comme son nom l’indique) qui prend en argument un vecteur : tout l’inverse du laplacien scalaire !Comme tu le vois, on dérive deux fois chaque coordonnée par rapport à chaque variable et on additionne le tout.Nous ne donnerons pas la formule en cylindriques et en sphériques car c’est une horreur monstrueuse que tu n’auras normalement jamais à utiliser (ou alors on te donnera forcément la formule !
Retiens surtout les formules avec les coordonnées cartésiennes et cylindriques car les sphériques sont peu utilisées et généralement assez compliquées, donc la formule en sphériques est souvent rappelée dans l’énoncé si tu as besoin de l’utiliser (certaines formules en cylindriques sont également assez complexes et parfois données dans l’énoncé).Ne t’inquiète pas, nous allons détailler tout cela au fur et à mesure Div(f) n’a ainsi aucune signification (ce sera évident avec la formule).Le principe de calcul en coordonnées cartésiennes est simple : on dérive uEn cylindriques en revanche c’est déjà un peu plus complexe : La simplicité de la formule en cartésiennes par rapport aux deux autres se retrouvera dans tous les opérateurs.Avant de voir la suite, nous allons introduire un opérateur qui sera utilisé dans toutes les formules, l’opérateur nabla noté : Comme tu le vois c’est une sorte de dérivée partielle en 3 dimensions. Cylindrical coordinates are useful in connection with objects and phenomena that have some rotational They are sometimes called "cylindrical polar coordinates"As in polar coordinates, the same point with cylindrical coordinates In situations where someone wants a unique set of coordinates for each point, one may restrict the radius to be The notation for cylindrical coordinates is not uniform. <>