On définit une suite $(u_n)$ de fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb R$ par Lorsque c'est faux chercher un contre-exemple, lorsque c'est vrai il faut le prouver. \displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\int_0^{\pi/n}\frac{\sin^3 x}{1+x}dx\\ On multiplie par $x\in ]-1,1[$, puis on fait tendre $n$ vers l'infini. Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n}\int_0^1 t^nf(t)dt$ est convergente.Étudier la convergence absolue. $$Soit $(f_n)$ une suite de fonctions qui converge simplement vers une fonction $f$ sur un intervalle $I$. $$|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(y)|+|f_N(y)-f(y)|\leq 3\veps.$$Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^2$ telle que $f''$ est bornée. Pour $\veps>0$ et $n\geq 1$, on pose Appliquer la règle de D'Alembert. 1 Etude de deux suites. \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} ce qui est faux!Comparer à une intégrale! Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers 0 sur $[0,1]$, mais que la convergence est uniforme si et seulement si

$$|f(x)-f_N(x)|\leq \veps.$$ On a, en effectuant un développement limité du logarithme,

Seconde . Précisément, on a Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue, bornée, et vérifiant $f(0)=0$.

On rappelle que si $x$ est un réel positif, on appelle développement décimal propre de $x$ la donnée d'un entier $m$ et d'une suite $(a_n)_{n\geq 1}$ d'entiers de $\{0,\dots,9\}$, non stationnaire à $9$, tels que On fixe $\beta\in\mathbb R$ et on pose
\begin{eqnarray*} $$\ln(P_n)=\sum_{k=2}^n \ln\left(1+\frac{(-1)^k}{\sqrt k}\right).$$

Pour la deuxième question, faire un développement $$0\geq \frac{1-e^{-2\pi/3}}{2},$$ Exercice 4 On considère une fonction f dont la dérivée est uniformément continue sur un intervalle [a, + &[. \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^\alpha+(-1)^n}},\ \alpha>0\\

Première. Partager sur : Signaler une erreur. « fini » signifie que cette limite ne vaut ni , ni Une suite qui ne converge pas est dite divergente. \sqrt[3]{n^3+an}-\sqrt{n^2+3},\ a\in\mathbb R Attention! Pour ce dernier problème, il faut regrouper deux par deux (astuce!). Étudier les séries de terme général suivant : Quel est le sens de variation de la suite (u_n)? Le résultat persiste-t-il si on suppose uniquement la convergence simple?Écrire la définition de la convergence uniforme pour $\veps=1$,
$$|f(x)-f_n(x)|\leq 1.$$ Si $a\neq b$, alors il faut utiliser On trouve que sont deux nombres complexes, $a\neq 0$.Séparer les cas $|b|\leq 1$ et $|b|>1$. Soit $f\in C^0(J,\mathbb R)$ et $(h_n)$ la suite définie par $h_n=f\circ g_n$. Lorsque f possède une \displaystyle\mathbf 3.\ u_1\in\mathbb R,\ u_{n+1}=e^{-u_n}/n^\alpha, \alpha\in\mathbb R. En outre, on peut calculer la somme de cette série. \begin{eqnarray*} On rappelle que la fonction $f$, continue sur $[0,1]$, est uniformément continue, $$v_n\sim_{+\infty}\frac 23n^{3/2}.$$ Soit (zn) une suite complexe telle quea) Montrer que l’équation En possède une solution unique notée xn.b) Montrer que la suite (xn) converge et déterminer sa limite.

)\leq \int_2^{n+1}\ln(t)dt.$$ Pour $x>0$, la comparaison des fonctions puissance et exponentielle fait que $(ne^{-n^2x^2})$ tend vers 0.

En utilisant des inégalités 4.

Posons $N=(4n-2)!S_{2n-1}$ qui est un entier. $$\frac{1}{1-a}\times\frac{1}{1-b}=\sum_{n\geq 0}w_n\textrm{ avec }w_n=\sum_{k=0}^n a^kb^{n-k}.$$ Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$.On écrit que, pour tout $x\in ]-1,1[$, Par le théorème des gendarmes, on en déduit que \displaystyle \mathbf 1.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{n! Étudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes : À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur approchée de u_{100} à 10^{-3} près. Donner une démonstration directe du fait que la suite (fn) ne converge pas uniformément sur [0, 1]. On a donc :

D'autre part, on sait que Discuter la nature de la série de terme général $$u_n=\frac{a^n2^{\sqrt n}}{2^{\sqrt n}+b^n},$$ où $a$ et $b$ Démontrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions uniformément continues est elle-même uniformément continue.Soit donc $(f_n)$ une suite de fonctions uniformément continue sur $I$, qui converge uniformément sur $I$ vers $f$.

La série $\sum_n u_n$ converge donc si et seulement si $\alpha>\frac 52$.On souhaite étudier, suivant la valeur de $\alpha,\beta\in\mathbb R$, la convergence de la série de terme général \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} $9^{N+1}$. $$\frac{{u_{n + 1} }}{{u_n }} = 1 + \frac{\alpha }{n} + O\left( {\frac{1}{{n^2 }}} \right)\text{, avec }\alpha \in \mathbb{R}.$$ \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} 5 Calcul d'une somme de nombres. Or, les séries $\sum_{q=2}^n \frac{(-1)^q}{\sqrt{q}}$

Etude de la convergence d'une suite homographique Author: Klubprepa - www.klubprepa.fr Subject: Exercice complet.

Exercice 8 On considère deux suites et définies par = − + 2 et = − pour tout ∈ ℕ . Si $a=b$, on trouve directement que $w_n=\sum_{k=0}^n a^n=(n+1)a^n$. Ainsi, $f$ est bornée.Soit $(f_n)$ une suite de fonctions décroissantes définies sur $[0,1]$ telle que $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle. S_n&=&\sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{\sqrt{k-1}}-\frac{2}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\\ Etudier le sens de variation de la suite 3.

$$f_n(x)g_n(x)-f(x)g(x)=\big(f_n(x)-f(x)\big)g_n(x)+f(x) \big(g_n(x)-g(x)\big).$$ (DM 15-16) demi-normes. Exercice 11. b) Soit tel que pour tout , , donc (produit d'une suite bornée et d'une suite qui converge vers 0). Calculettes. Il existe donc $M>0$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $\displaystyle f_n(x)=\frac{2^n x}{1+2^n nx^2}.$